Histogram Processing
어떤 디지털 이미지의 강도가 [0,255]를 가질 때,
분산된 히스토 그램으로 나타날 수 있는데
rk는 히스토 그램의 강도고,
nk는 rk라는 강도를 가진 이미지의 수다.
즉 다시 나타내면 h(rk) = nk라고 나타낼 수 있다.
근데 픽셀의 개수 그대로 사용하면 y축의 개수가 천차 만별이 되기 때문에 서로 다른 크기의 이미지들을 비교할 때는 정규화 해서 사용해야 한다.
따라서 위의 값에서 nk를 전체 픽셀의 개수만큼 나누어 줘서 확률로 사용해버린다.
당연히 확률을 사용했기 때문에 다 더하면 1이 된다.
히스토그램은 공간 도메인 기법 중에서 가장 기법이 되며 이미지를 향상을 위해서 히스토그램을 이용한다. (이미지의 통계)
이미지의 통계 뿐만 아니라 다른 이미지 프로세싱을 사용할 때 판단의 기준이 히스토그램이 될 수도 있다.
히스토그램은 만드는 것도 쉽다
다음 그림은 각각의 이미지를 히스토그램으로 나타낸 것이다.
어두운거, 밝은거, 낮은 대조, 높은 대조
x 축은 rk, y 축은 nk/n*m 이다
- 대조가 낮은 것은 한쪽에 히스토 그램이 몰려 있다는 것을 알 수 있고
- 대조가 높은 것은 넓게 퍼져 히스토그램이 형성되어 있다.
Histogram Equalization
히스토그램 평활화 이미지의 강도 값은 연속적인 값이 주어진다는 가정 하에서 이루어 진다.
이미지 강도를 r 이라고 하고 0~(L-1)255다.
0은 블랙 L-1은 흰색이다
s(출력 이미지 강도) = T(r(입력 이미지 강도))
다음과 같은 3가지 가정이 있다.
A) 입출력 이미지에 대한 함수는 단조 증가 B) 위의 조건에 역함수도 단조증가 한다. 즉 입력 강도의 범위와 출력 강도의 범위가 같다. 또한 1:1 관계가 되어 역함수가 존재 할수 있도록 하기 위해 C 조건인 엄격한 단조 증가 조건을 만족해야 한다. C) 엄격한 단조 증가
반올림 하면 다른 값들을 찾을 수 있는데,
이때 두개의 다른 x 값이 같은 y값을 가질 때가 있다. 이때 1:1 조건을 만족 시키지 못 할 수 도 있다. 왜냐하면 반올림해서 같은 값을 가질 때가 이렇게 되는데, 이렇게 되면 반올림 되는 정수 값을 다시 넣어도 다시 정수로 1:1 대응이 되기 때문이다.
r은 강도 값,
pr 은 r 의 강도값을 가지는 pixel의 개수
p(r) 입력 이미지 p(s) 는 출력 이미지 분포
함수에 대한 적분이니까 누적 증가이다. 절대로 앞의 값보다 역전된 값이 나올 수가 없다.
위의 식은 CDF라고 불린다.
앞에다가 L-1 을 곱하는 것은 다 더하면 최대 값이 1에서 255로 된다. 그래서 값의 범위를 맟춰 주려고 곱하는 것이다.
앞에서 맨 위의 미분 식을 가져 왔다.
S = T(r)에다가 미분을 각각 취하면 이런 식이 되괴 T를 불면 그 다음 식이 나온다.
각 식을 불면 이렇게 나오고 위의 미분 식에다가 나온 식을 대입하면 아래의 식이 나오다. 결과적으로 P(S)는 1/L-1 이 나온다. 즉 S가 무슨 값이 나오든 상수 값인 1/L-1 이 나온다
CDF 를 취하면 다음과 같은 상수 함수가 나온다.
높은 대조의 이미지를 가지기 위해서는 전 범위의 강도를 가지고 있어야 하고,
이 픽셀들의 강도 분포가 상수 함수의 양상과 비슷해야 하기 때문이다.
Refference: